Question

9．在复平面上，复数 $\frac{{{i^{2016}}-2{i^{2014}}}}{{{{（2-i）}^2}}}$对应的点到原点的距离为$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 i²⁰¹⁶=（i⁴）⁵⁰⁴=1，i²⁰¹⁴=（i⁴）⁵⁰³•i²=-1，（2-i）²=3-4i．代入化简、利用两点之间的距离公式即可得出．

解答 解：i²⁰¹⁶=（i⁴）⁵⁰⁴=1，i²⁰¹⁴=（i⁴）⁵⁰³•i²=-1．（2-i）²=3-4i．
∴复数 $\frac{{{i^{2016}}-2{i^{2014}}}}{{{{（2-i）}^2}}}$=$\frac{1-2×（-1）}{3-4i}$=$\frac{3（3+4i）}{（3-4i）（3+4i）}$=$\frac{9}{25}+\frac{12}{25}$i对应的点$（\frac{9}{25}，\frac{12}{25}）$到原点的距离=$\sqrt{（\frac{9}{25}）^{2}+（\frac{12}{25}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$．
故答案为：$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．