Question

19．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对任意正数x，y都满足f（x+y）=f（x）f（y），且当x＞1时，f（x）＞2，f（2）=4．则f（x²）＞2f（x+1）的解为{x|x＞2}．

Answer 1

分析 求出f（1）=2，f（x）是定义在（1，+∞）上的增函数，即可解不等式．

解答 解：∵f（x+y）=f（x）f（y），f（2）=4
∴f（2）=f（1）f（1）=4，
∵f（1）=f（$\frac{1}{2}$）f（$\frac{1}{2}$）≥0，
∴f（1）=2，
∵当x＞1时，f（x）＞2，
∴当x＞1时，f（x）＞f（1），
∴f（x）是定义在（1，+∞）上的增函数，
∵f（x²）＞2f（x+1），
∴f（x²）＞f（x+2），
∴x²＞x+2，
∵x＞0，∴x＞2．
故答案为{x|x＞2}．

点评 本题考查解抽象函数不等式，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．