Question

1．下列关系式中一定成立的是（　　）

• A． 若a＞0，b＞0，则a⁴+b⁴≤a³b+ab³
• B． $\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$＞2$\sqrt{6}$
• C． 若|a|＜1，|b|＜1，则|$\frac{a+b}{1+ab}$|＜1
• D． a²+b²+c²≤ab+bc+ac

Answer 1

分析 利用不等式的性质逐一核对四个选项得答案．

解答 解：∵a⁴+b⁴-a³b-ab³=（a⁴-a³b）+（b⁴-ab³）=a³（a-b）+b³（b-a）=（a-b）（a³-b³）=（a-b）（a-b）（a²+ab+b²）=（a-b）²（a²+ab+b²）≥0，∴A错误；
∵$（\sqrt{7}+\sqrt{5}）^{2}-（2\sqrt{6}）^{2}$=7+5+2$\sqrt{35}-24$=2$\sqrt{35}-12$＜0，∴B错误；
由|a|＜1，|b|＜1，若|$\frac{a+b}{1+ab}$|＜1，则|a+b|＜|1+ab|，即（a+b）²＜（1+ab）²，整理得（1-b²）（a²-1）＜0，此时显然成立，∴C正确；
∵a²+b²+c²-ab-ac-bc=$\frac{1}{2}$（2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc）=$\frac{1}{2}$[（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²]≥0，则a²+b²+c²≥ab+ac+bc（当且仅当a=b=c取得等号），∴D错误．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了不等式的性质，是中档题．