Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知$cosA=\frac{c}{a}cosC$，$b+c=2+\sqrt{2}$，$cosB=\frac{3}{4}$，则△ABC的面积是$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 由$cosA=\frac{c}{a}cosC$，得acosA=ccosC，利用正弦定理可得：sinAcosA=sinCcosC，进而单调a=c，即△ABC为等腰三角形．根据余弦定理，$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{3}{4}≠0$，结合a=c，$b+c=2+\sqrt{2}$，及其三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：在△ABC中，由$cosA=\frac{c}{a}cosC$，得acosA=ccosC，
由正弦定理可得：sinAcosA=sinCcosC，即sin2A=sin2C，∴A=C或$A+C=\frac{π}{2}$，
又∵$cosB=\frac{3}{4}≠0$，∴A=C，即a=c，即△ABC为等腰三角形；
根据余弦定理，$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{3}{4}≠0$，结合a=c，$b+c=2+\sqrt{2}$，有：$b=\frac{{\sqrt{2}}}{2}c$，c=2=a，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=2sinB=2\sqrt{1-{{（{\frac{3}{4}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．