Question

5．已知f（x）=（x²-ax）e^x+1，x∈R
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（-1，1）单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数的单调性的关系即可求出，
（2）分离参数，构造函数，利用函数的单调性求出a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=（x²-ax）e^x+1，
∴f′（x）=（2x-a）e^x+1+（x²-ax）e^x+1=e^x+1[x²-（a-2）x-a]，
∵△=（a-2）²+4a=a²+4＞0，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{a-2-\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$，或x=$\frac{a-2+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$，
当f′（x）＞0时，即x＜$\frac{a-2-\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$，或x＞$\frac{a-2+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即$\frac{a-2-\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$＜x＜$\frac{a-2+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$，函数单调递减，
∴f（x）在（-∞，$\frac{a-2-\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$），或（$\frac{a-2+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$，+∞）函数单调递增，在（$\frac{a-2-\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$，$\frac{a-2+\sqrt{{a}^{2}+4}}{2}$）函数单调递减，
（2）∵函数f（x）在（-1，1）单调递减，
∴f′（x）≤0在（-1，1）上恒成立，
∴x²-（a-2）x-a≤0，在（-1，1）上恒成立，
∴a≥$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$=$\frac{（x+1）^{2}-1}{x+1}$=（x+1）-$\frac{1}{x+1}$在（-1，1）上恒成立，
设g（x）=（x+1）-$\frac{1}{x+1}$，
则g′（x）=1+$\frac{1}{（x+1）^{2}}$＞恒成立
∴g（x）在（-1，1）上单调递增，
∴g（x）＜g（1）=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴a≥$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了导数和函数的单调性和最值的关系，关键是构造函数，属于中档题．