Question

9．在Rt△ABC中，AB=AC，以C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB内，且椭圆过A．B点，则这个椭圆的离心率等于$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设另一焦点为D，则可再Rt△ABC中，根据勾股定理求得BC，进而根据椭圆的定义知AC+AB+BC=4a求得a．再利用AC+AD=2a求得AD最后在Rt△ACD中根据勾股定理求得2c=CD，利用离心率公式即可求得答案．

解答 解：设另一焦点为D，
∵Rt△ABC中，AB=AC=1，
∴BC=$\sqrt{2}$，
∵AC+AD=2a，
AC+AB+BC=1+1+$\sqrt{2}$=4a，
∴a=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
又∵AC=1，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
在Rt△ACD中焦距2c=CD=$\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2+\sqrt{2}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$
故答案为：$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质和解三角形的应用．考查椭圆的定义和椭圆中短轴，长轴和焦距的关系，考查数形结合思想，属于中档题．