Question

在数列{a_n}中,如果存在非零常数T,使得a_m+T=a_m对于任意的正整数m均成立,那么就称数列{a_n}为周期数列,其中T叫做数列{a_n}的周期.已知数列{x_n}是周期数列且满足x_n+1=|x_n-x_n-1|(n≥2,n∈N^*),x₁=1,x₂=a(a∈R,a≠0),当数列{x_n}的周期最小时,该数列的前2 007项和是__________.

Answer 1

思路解析:题目中给出了新名词,首先要弄清题意中所说的周期数列的含义,然后利用这个定义,针对题目中的数列的周期情况分类讨论,从而将a值确定,进而将数列的前2 007项和确定.

若其最小周期为1,则该数列是常数列,即每一项都等于1,此时a=1,该数列的项分别为1,1,0,1,1,0,1,1,0,…,即此时该数列是以3为周期的数列；若其最小周期为2,则有a₃=a₁,即|a-1|=1,a-1=1或-1,a=2或a=0,又a≠0,故a=2,此时该数列的项依次为1,2,1,1,0,…,由此可见,此时它并不是以2为周期的数列.综上所述,当数列{x_n}的周期最小时,其最小周期是3,a=1,又2 007=3×669,故此时该数列的前2 007项和是669×(1+1+0)=1 338.

答案:1 338