Question

15．已知动直线y=-3x+b与二次函数y=-x²+2x-1，相交于A，B两不同点，弦AB的中点为Q，O为坐标原点．
（1）若|AB|=3，求b的值；
（2）求Q点的轨迹方程；
（3）若b∈[-3，-$\frac{3}{4}$），求|$\overrightarrow{OQ}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直线y=-3x+b与二次函数y=-x²+2x-1联立可得x²-5x+b+1=0，利用弦长公式，建立方程，即可求b的值；
（2）利用中点坐标公式，求Q点的轨迹方程；
（3）表示出|$\overrightarrow{OQ}$|，利用b∈[-3，-$\frac{3}{4}$），求|$\overrightarrow{OQ}$|的取值范围．

解答 解：（1）直线y=-3x+b与二次函数y=-x²+2x-1联立可得x²-5x+b+1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=5，x₁x₂=b+1，△＞0，可得b＜$\frac{21}{4}$．
∵|AB|=3，
∴$\sqrt{1+9}$•$\sqrt{25-4b-4}$=3，
∴b=$\frac{201}{40}$；
（2）设Q（x，y），则x=2.5，y=-7.5+b，
∴Q点的轨迹方程是x=2.5（y＜-$\frac{9}{4}$）；
（3）|$\overrightarrow{OQ}$|=$\sqrt{\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{4}+\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{4}}$=$\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{（2b-15）^{2}}{4}}$，
∵b∈[-3，-$\frac{3}{4}$），
∴$\frac{\sqrt{1189}}{4}$≤|$\overrightarrow{OQ}$|≤$\frac{\sqrt{469}}{2}$．

点评 本题考查直线与二次函数的关系，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．