Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n上．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+3}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）数列{a_n}中是否存在成等差数列的三项？若存在，求出一组合适条件的三项；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由“点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n上．”可得S_n=2a_n-3n，由通项和前n项和关系可得a_n+1=2a_n+3，变形为a_n+1+3=2（a_n+3）符合等比数列的定义．
（Ⅱ）由（I）根据等比数列通项公式求解有a_n+3=b•2^n-1=3•2ⁿ整理可得a_n=3•2ⁿ-3
（Ⅲ）先假设存在s、p、r∈N^*且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差数列根据等差中项有2a_p=a_s+a_r，再用通项公式展开整理有2^p-s+1=1+2^r-s∵因为s、p、r∈N^*且s＜p＜r所以2^p-s+1为偶数，1+2^r-s为奇数，奇数与偶数不会相等的．所以不存在．

解答：解：（Ⅰ）由题意知S_n=2a_n-3n
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-3（n+1）-2a_n+3n∴a_n+1=2a_n+3（2分）
∴a_n+1+3=2（a_n+3）
∴

an+1+3

an+3

=2，又a₁=S₁=2a₁-3a₁=3
∴a₁+3=6（4分）
∴数列{a_n+3}成以6为首项以2为公比的等比数列
（Ⅱ）由（I）得a_n+3=b•2^n-1=3•2ⁿ
∴a_n=3•2ⁿ-3
（Ⅲ）设存在s、p、r∈N^*且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差数列
∴2a_p=a_s+a_r∴2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3∴2^p+1=2^s+2^r（9分）
即2^p-s+1=1+2^r-s（*）
∵s、p、r∈N^*且s＜p＜r
∴2^p-s+1为偶数，1+2^r-s为奇数
∴（*）为矛盾等式，不成立故这样的三项不存在（12分）

点评：本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了通项与前n项和的关系，构造等比数列，求通项，等差中项及数域问题．