Question

8．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且点（2，$\sqrt{6}$）在C上．
（1）求C的方程；
（2）过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，且AB的中点恰为P，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且点（2，$\sqrt{6}$）在C上，建立方程，可a²=16，b²=8，即可求出C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，利用点差法求出直线的向量，可求直线l的方程．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且点（2，$\sqrt{6}$）在C上，
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{6}{{b}^{2}}$=1
∴a²=16，b²=8，
∴C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，y₁+y₂=2；
由（1）知，8x₁²+16y₁²=128，①
8x₂²+16y₂²=128，②
①-②得：8（x₁+x₂）（x₁-x₂）+16（y₁+y₂）（y₂-y₁）=0，
∴32（x₁-x₂）+32（y₂-y₁）=0，
由题意知，直线l的斜率存在，k=-1，
∴直线l的方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0．

点评 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查点差法求直线方程，正确运用点差法是关键．