【题目】已知函数,
.
(1)证明:不等式在
恒成立;
(2)证明:在
存在两个极值点,
附:,
,
.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;
【解析】
(1),首先利用导数证明当
时,总有
,然后可得
(2)分和
两种情况讨论,每种情况都要用导数求出
的单调性.
(1),
设,易得
在
上为增函数,
又,
,
∴存在唯一,使得
,
∴在时,
,
为减函数,
,
在时,
,
为增函数,
,
因此时,总有
,
为减函数.
∴,从而原不等式得证.
(2),则
,
在时,令
,
则在
上递增.
又,
.
∴存在唯一,使
.
在时,
,
为减函数,即
为减函数,
在时,
,
为增函数,即
为增函数,
而,
.
又,存在唯一的
使得
,
∴在时,
,
为减函数,
在时,
,
为增函数,故
为
一个极小值点.
另一方面,在时,由
,
而,∴
,
由(1)可知,∴
在
上恒成立,
又在
上恒成立,∴
是
的极大值点,从而得证.
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【题目】已知函数
(1)当a=-2时,求函数f(x)的极值;
(2)若ln[e(x+1)]≥2- f(-x)对任意的x∈[0,+∞)成立,求实数a的取值范围.
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【题目】农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称粽粒,俗称“粽子”,古称“角黍”,是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的表面积为________;该六面体内有一球,则该球体积的最大值为________.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
,
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)若,求
的极坐标方程;
(2)若与
恰有4个公共点,求
的取值范围.
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【题目】已知函数,
,其中e是自然对数的底数.
(1)若函数的极大值为
,求实数a的值;
(2)当a=e时,若曲线与
在
处的切线互相垂直,求
的值;
(3)设函数,若
>0对任意的x
(0,1)恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发,一方有难八方支援,全国各地的白衣天使走上战场的第一线,某医院抽调甲、乙两名医生,抽调、
、
三名护士支援武汉第一医院与第二医院,参加武汉疫情狙击战其中选一名护士与一名医生去第一医院,其它都在第二医院工作,则医生甲和护士
被选在第一医院工作的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知抛物线,过点
的直线
与
交于不同的两点
,且满足
,以
为中点的线段的两端点分别为
,其中
在
轴上,
在
上,则
_______,
的最小值为____________
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