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    【题目】已知正项数列的首项,其前项和为,且与的等比中项是,数列满足：.

    (1)求,并求数列的通项公式；

    (2)记,,证明：.

    【答案】(1),,. (2)见解析

    【解析】

    (1)由题可得,再根据通项与前项和的关系求得递推公式,再根据的值求解通项即可.

    (2)根据通项与前项和的关系求出的通项公式,再代入可得再利用裂项放缩法或者利用数学归纳法证明即可.

    (1)依题意,

    由,得,.

    于是有,,两式相减可得.

    约去正项可得.

    又,,所以是以1为首项,1为公差的等差数列.

    故.

    (2)依题意,

    当时,,

    两式相减即得.

    另外亦符合上式,所以.

    证一：

    所以.

    证二：（1）时命题成立.

    （2）假设时命题成立,即

    那么

    即当时命题也成立.

    综合（1）（2）对任意命题均成立.

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    （2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？

    优秀

    非优秀

    合计

    男生

    40

    女生

    50

    合计

    100

    参考公式及数据：.

    0.05

    0.01

    0.005

    0.001

    3.841

    6.635

    7.879

    10.828

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