Question

【题目】已知棱长为2的正方体中，E为DC中点，F在线段上运动，则三棱锥的外接球的表面积最小值为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

取的中点，易知为的外心，取的中点，连接，取的中点，连接，由正方体的性质可得三棱锥的外接球球心在直线上，连接，取的中点，连接、，易知当即点与重合时，即外接球半径最小，设，根据求得，进而可求得外接球半径，即可得解.

取的中点，易知为的外心，取的中点，连接，取的中点，连接，

由正方体的性质可得平面，

则三棱锥的外接球球心在直线上，连接，

取的中点，连接、，

由中位线的性质可得且，

所以，所以平面，，

若要使三棱锥的外接球的表面积最小，则要使其半径即最小，

易知当即点与重合时，最小，

设，由题意，，

则，，

由可得，化简可得，

此时，三棱锥的外接球的半径满足，

所以三棱锥的外接球的表面积最小值.

故选：C.