Question

如图所示,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB=BC=AA₁,∠ABC=90°,D为棱CC₁的中点.

(1)求异面直线AB₁与A₁D所成的角;

(2)求证:平面AB₁D⊥平面ABD.

Answer 1

(1)解:如图,连结A₁B交于AB₁于E,取BD的中点F,连结EF,则EF∥A₁D,故∠AEF(或其补角)为异面直线AB₁与A₁D所成的角.

    设AB=a,则EF=A₁D=a,BF=BD=a,AE=AB₁=a.

    ∵C₁C⊥平面ABC,BC⊥AB,

    ∴BD⊥AB.

    ∴AF==a.

    ∴cos∠AEF==.

    故异面直线AB₁与A₁D所成角为arccos.

(2)证明:∵AB⊥C₁C,AB⊥BC,

    ∴AB⊥侧面BCC₁B₁.

    ∴AB⊥B₁D.

    又BD=a,B₁D=a,BB₁=2a,

    ∴BD²+B₁D²=BB₁².

    ∴BD⊥B₁D.

    ∴B₁D⊥平面ABD.

    又B₁D平面AB₁D,

    ∴平面AB₁D⊥平面ABD.