Question

4．已知函数f（x）=lnx-x，g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx（b≠0）．
（1）讨论g（x）的单调性
（2）若对任意x₁∈（1，2），总存在x₂∈（1，2），使f（x₁）=g（x₂），求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，利用导数的正负，讨论g（x）的单调性即可；
（2）对任意x∈（1，2），f′（x）=$\frac{1}{x}$-1＜0，函数单调递减，f（x）∈（ln2-2，-1），根据g（x）的单调性，求出g（x）的范围，即可求b的取值范围．

解答 解：（1）g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx，
∴g'（x）=b（x²-1），
当b＜0时，g'（x）＞0，-1＜x＜1，f（x）递增，递增区间为（-1，1），递减区间为（-∞，-1），（1，+∞）；
当b＞0时，g'（x）＜0，-1＜x＜1，f（x）递减，递减区间为（-1，1），递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；
（2）∵f（x）=lnx-x，
∴对任意x∈（1，2），f′（x）=$\frac{1}{x}$-1＜0，函数单调递减，
∴f（x）∈（ln2-2，-1），
当b＜0时，g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx在（1，2）上单调递减，∴g（x）∈（$\frac{2}{3}$b，-$\frac{2}{3}$b），
由题意，（ln2-2，-1）⊆（$\frac{2}{3}$b，-$\frac{2}{3}$b），
∴$\frac{2}{3}$b≤ln2-2，-$\frac{2}{3}$b≥-1
∴b≤$\frac{3}{2}$ln2-3．
当b＞0时，g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx在（1，2）上单调递增，∴g（x）∈（-$\frac{2}{3}$b，$\frac{2}{3}$b），
由题意，（ln2-2，-1）⊆（-$\frac{2}{3}$b，$\frac{2}{3}$b），
∴-$\frac{2}{3}$b≤ln2-2，$\frac{2}{3}$b≥-1
∴b≥3-$\frac{3}{2}$ln2．

点评 本题考查了利用导函数判断函数的单调性和对恒成立问题的理解．