Question

已知f(x)=loga

1+x

1-x

(a＞0，a≠1)．
（Ⅰ）求f（x）的定义域；             
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（Ⅲ）写出f（x）的单调区间．（不必证明）

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（I）根据对数函数的真数部分必为正，构造不等式，可求出函数的定义域；
（II）由已知中函数解析式，求出f（-x）的解析式，并根据对数的运算性质，判断出f（-x）与f（x）的关系，进而根据函数奇偶性的定义，判断出函数为奇函数；
（III）根据对数函数单调性与底数的关系及复合函数同增异减的原则，可得到函数的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）由对数函数的定义知

1+x

1-x

＞0
解得-1＜x＜1
故f （x）的定义域为（-1，1）…（4分）
（Ⅱ）∵f(x)=loga

1+x

1-x

∴f(-x)=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-f(x)，
∴f （x）为奇函数…（8分）
（Ⅲ）故当a＞1时，f（x）在区间（-1，1）单调递增；
当0＜a＜1时，f（x）在区间（-1，1）单调递减．…（12分）

点评：本题考查的知识点是函数的定义域，函数的奇偶性，函数的单调性，熟练掌握对数函数的图象和性质是解答本题的关键．