Question

函数f（x）=x²+ax+3，x∈[0，2]
（Ⅰ）若a=2，求f（x）的最值，并说明当f（x）取最值时的x的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2，由于f （x）的对称轴为x=-1，f （x）在[0，2]上是增函数，由此求得f（x）的最值，以及f（x）取最值时的x的值．
（Ⅱ）[法一]：由题意可得 x²+ax+3≥0对于x∈[0，2]恒成立，故f（x）=x²+ax+3的最小值大于或等于零，结合二次函数f（x）=x²+ax+3的图象与性质，求得a的取值范围．
法二：当x=0时，可得a∈R，满足条件．当x∈（0，2]时，可得a≥-(x+

3

x

)，令 g(x)=-(x+

3

x

)，利用基本不等式求得g（x）的最大值，即可得到a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2，
由于f （x）的对称轴为x=-1，f （x）在[0，2]上是增函数，…（1分）
故当x=0时，f（x）_min=f（0）=3；…（3分）
当x=2时，f（x）_max=f（2）=11．…（5分）
（Ⅱ）[法一]：若f（x）≥0恒成立，即x²+ax+3≥0对于x∈[0，2]恒成立，故f（x）=x²+ax+3的最小值大于或等于零．
结合二次函数f（x）=x²+ax+3的图象与性质得：△=a²-4×3≤0，或

- a 2 ≤0 f(0)=3≥0

，或

- a 2 ≥2 f(2)=22+2a+3≥0

． …（9分）
解得-2

3

≤a≤2

3

或a≥0或a∈φ，…（11分）
所以a得取值范围是[-2

3

，+∞)．…（12分）
法二：当x=0时，可得a∈R，当x∈（0，2]时，可得a≥-(x+

3

x

)，令 g(x)=-(x+

3

x

)，由于x+

3

x

≥2

3

，当且仅当x=

3

时，取等号．
故有-（x+

3

x

）≤-2

3

，故 g(x)max=g(

3

)=2

3

，从而，a≥-2

3

．

点评：本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，求二次函数在闭区间上的最值，属于中档题．