Question

已知f（x）在定义域上是奇函数，且在[a，b]（0＜a＜b）上是减函数，图象如图所示．
（1）化简：f（

2a+b

3

）+f（

a+2b

3

）+f（

-2a-b

3

）+f（

-a-2b

3

）；
（2）画出函数f（x）在[-b，-a]上的图象；
（3）证明：f（x）在[-b，-a]上是减函数．

Answer 1

考点：奇偶函数图象的对称性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数是奇函数，可将原式化为f（

2a+b

3

）+f（

a+2b

3

）-f（

2a+b

3

）+f（

a+2b

3

），进而得到答案．
（2）根据奇函数的图象关于原点对称，可由函数在[a，b]（0＜a＜b）上的图象，对称变换后画出函数f（x）在[-b，-a]上的图象；
（3）任取x₁，x₂∈[-b，-a]，且x₁＜x₂，根据函数的单调性和奇偶性，结合函数在[a，b]（0＜a＜b）上是减函数，可判断出f（x）在[-b，-a]上是减函数．

解答： 解：（1）∵f（x）在定义域上是奇函数，
∴f（

2a+b

3

）+f（

a+2b

3

）+f（

-2a-b

3

）+f（

-a-2b

3

）
=f（

2a+b

3

）+f（

a+2b

3

）-f（

2a+b

3

）+f（

a+2b

3

）
=0
（2）根据f（x）在定义域上是奇函数，可得函数的图象关于原点对称
故函数f（x）在[-b，-a]上的图象
如下图所示

证明：（3）任取x₁，x₂∈[-b，-a]，且x₁＜x₂，
∵-b≤x₁＜x₂≤-a
∴a≤-x₂＜-x₁≤b
又∵f（x）在[a，b]上是减函数，
∴f（-x₂）＞f（-x₁）
∵f（x）在定义域上是奇函数，
∴-f（x₂）＞-f（x₁）
即f（x₂）＜f（x₁）
故f（x）在[-b，-a]上是减函数

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，与函数的单调性，是函数图象和性质的简单综合应用，难度不大，属基础题．