Question

如图1，在正三角形ABC中，已知AB=5，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，设AE=2x，CF=CP=x，0＜x＜

5

2

，将△ABC沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B的大小为

π

2

，连接A₁B、A₁P（如图2）．
（1）求证：PF∥平面A₁EB；
（2）若EF⊥平面A₁EB，求x的值；
（3）当EF⊥平面A₁EB时，求平面A₁BP与平面A₁EF所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题

分析：（1）证明PF∥平面A₁EB，利用线面平行的判定定理，证明PF∥BE即可；
（2）若EF⊥平面A₁EB，则EF⊥AE，∠AEF=90°，从而可得

AE

AF

=cos60°，故可求x的值；
（3）证明EF，BE，A₁E两两互相垂直，以E为原点，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，确定

BE

=(-3，0，0)是平面A₁EF的一个法向量，平面A₁BP的法向量

n

=（

2

3

，

2 3

9

，1），利用向量的数量积即可求平面A₁BP与平面A₁EF所成锐二面角的余弦值．

解答： （1）证明：∵CF=CP=x，CA=CB，∴PF∥BE
∵PF?平面A₁BE，BE?平面A₁BE
∴PF∥平面A₁EB；
（2）解：若EF⊥平面A₁EB，则EF⊥AE，∠AEF=90°
∵∠EAF=60°，∴

AE

AF

=cos60°
∴

2x

5-x

=

1

2

，∴x=1
（3）解：∵二面角A₁-EF-B的大小为

π

2

，且EF⊥平面A₁EB，
∴EF⊥BE，A₁E⊥EF，平面A₁EF∩平面BEF=EF
∴A₁E⊥平面BEF
∵BE?平面BEF
∴A₁E⊥BE
∴EF，BE，A₁E两两互相垂直
以E为原点，建立空间直角坐标系，则由已知得，BE=1，A₁E=2，PF=FC=PC=1，EF=2

3

∴E（0，0，0），A₁（0，0，2），B（3，0，0），P（1，2

3

，0），F（0，2

3

，0）
∴

A1B

=(1，0，-2)，

BP

=(-2，2

3

，0)
∴

BE

=(-3，0，0)是平面A₁EF的一个法向量
设平面A₁BP的法向量为

n

=(x，y，1)，则

n • A1B =0 n • BP =0

，∴

3x-2=0 -2x+2 3 y=0

，∴

n

=（

2

3

，

2 3

9

，1）
∴平面A₁BP与平面A₁EF所成锐二面角的余弦值为

2

3 4 9 + 4 27 +1

=

2 129

43

点评：本题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，对于图形的翻折问题，关健是利用翻折前后的不变量，二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一．是高考数学必考的知识点之一