Question

16．若不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{2x+y≤2}\\{y≥0}\\{x+y≤a}\end{array}\right.$表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{4}{3}$，+∞）
• B． （0，1]
• C． [1，$\frac{4}{3}$]
• D． （0，1]∪[$\frac{4}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，通过平移x+y=a，可得不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{2x+y≤2}\\{y≥0}\\{x+y≤a}\end{array}\right.$表示的平面区域是一个三角形时直线x+y=a的位置，则a的范围可求．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{2x+y≤2}\\{y≥0}\\{x+y≤a}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{2x+y=2}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{2}{3}，\frac{2}{3}$），
由图可知，当直线x+y=a过A（1，0）时，不等式组所表示的平面区域为△OAC，此时a=1；
当当直线x+y=a过B（$\frac{2}{3}，\frac{2}{3}$）时，不等式组所表示的平面区域为△OAB，此时a=$\frac{4}{3}$．
∴若不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{2x+y≤2}\\{y≥0}\\{x+y≤a}\end{array}\right.$表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（0，1]∪[$\frac{4}{3}$，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．