Question

在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、．设直线的倾斜角的正弦值为，圆与以线段为直径的圆关于直线对称．

（1）求椭圆E的离心率；

（2）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；

（3）若圆的面积为，求圆的方程．

Answer 1

【解】（1）设椭圆E的焦距为2c（c>0），

因为直线的倾斜角的正弦值为，所以，

于是，即，所以椭圆E的离心率    

…………4分

（2）由可设，，则，

于是的方程为：，

故的中点到的距离，         …………………………6分

又以为直径的圆的半径，即有，

所以直线与圆相切．                                  …………………………8分

（3）由圆的面积为知圆半径为1，从而，      …………………………10分

设的中点关于直线：的对称点为，

则                            …………………………12分

解得．

所以，圆的方程为．          …………………………14分