Question

1．已知：求所有实数k，使得存在△ABC，满足
（1）a+b=kc；
（2）cot$\frac{A}{2}$+cot$\frac{B}{2}$=kcot$\frac{C}{2}$．

Answer 1

分析 先利用正弦定理将第一个等式边化角，第二个式子切化弦，然后借助于和差化积公式化简，两者结合可以构造出关于k的方程，求解即可．

解答 解：由正弦定理得sinA+sinB=ksinC，即2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$=2ksin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$=2kcos$\frac{C}{2}$cos$\frac{A-B}{2}$．
显然cos$\frac{C}{2}≠0$．所以$cos\frac{A-B}{2}=ksin\frac{C}{2}=kcos\frac{A+B}{2}$．
所以$cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}+sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}$=$k（cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}-sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}）$．
整理得$tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}=\frac{k-1}{k+1}$①
由cot$\frac{A}{2}$+cot$\frac{B}{2}$=kcot$\frac{C}{2}$得$\frac{cos\frac{A}{2}}{sin\frac{A}{2}}+\frac{cos\frac{B}{2}}{sin\frac{B}{2}}=k×\frac{cos\frac{C}{2}}{sin\frac{C}{2}}$．
即$\frac{sin\frac{B}{2}cos\frac{A}{2}+cos\frac{B}{2}sin\frac{A}{2}}{sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}}=k×\frac{sin\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}}$．
即$\frac{sin\frac{A+B}{2}}{sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}}=k×\frac{sin\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}-sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}}$．
化简得：tan$\frac{A}{2}$tan$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{k+1}$②
由①②得$\frac{k-1}{k+1}=\frac{1}{k+1}$，解得k=2．

点评 本题考查了利用三角变换的方法构造方程解决三角形中的求值问题．强调化归思想的应用．