Question

在三角形ABC中，其三边分别为AB=c，AC=b，BC=a
（1）若c=5，求acosB+bcosA的值；
（2）若sinA=sinCcosB，判断三角形ABC形状ABC．
（3）若三角形ABC是直角三角形，sinA=ksinCcosB，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简所求，将c的值代入计算即可求出值；
（2）已知等式变形后利用正弦定理化简，整理后利用勾股定理的逆定理即可做出判断；
（3）根据题意分A=90°，B=90°，C=90°三种情况考虑，求出k的范围即可．

解答：解：（1）∵c=5，∴利用正弦定理得：acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=c=5；
（2）∵sinA=sinCcosB，
∴

sinA

sinC

=cosB，
∴

a

c

=

a2+c2-b2

2ac

，
整理得：c²=a²+b²，
则三角形ABC为直角三角形；        
（3）若A=90°，则B+C=90°，
∴sinC=cosB，
∴1=ksin²C，
∵0＜C＜90°，
∴0＜sin²C＜1，
∴k＞1；
若B=90°，则sinA=0，∴k不存在；                          
若C=90°，则A+B=90°，
∴sinA=cosB，
∴k=1，
综上，k≥1．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，熟练掌握定理是解本题的关键．