Question

在三角形ABC中，若其三内角度数成等差，其对应三边长成等比，则此三角形为

等边

三角形．（要求精确作答）

Answer 1

分析：由已知及三角形的内角和可得，B=60°，A+C=120°，b²=ac，由正弦定理可得，sinAsinC=

3

4

即sinAsin（120°-A）=

3

4

z整理可得，sin（2A-30°）=1，结合三角形的内角范围及，B=60°可求A，C

解答：解：由题意可得，不妨设A+C=2B，且ac=b²
由三角形的内角和可得，B=60°，A+C=120°
由正弦定理可得，sin²B=sinAsinC
即sinAsinC=

3

4

∵sinAsin（120°-A）=sinA（sin120°cosA-sinAcos120°）
=

3

2

sin AcosA+

1

2

sin2A=

3

4

sin2A-

1

4

cos2A+

1

4

∴

1

2

sin(2A-30°)=

1

2

∴sin（2A-30°）=1
∵0°＜A＜120°∴2A-30°=90°
∴A=60°，B=60°，C=60°即△ABC为等边三角形
故答案为：等边

点评：本题主要考查了三角形的内角和定理及正弦定理的应用，二倍角公式及和差角公式等综合应用，解题的关键是熟练应用三角公式．