Question

等腰三角形ABC中，A=

π

2

，AB=AC=2，M是BC的中点，P点在三角形ABC内部或其边界上运动，则

BP

•

AM

的取值范围是（　　）

• A、[-1，0]
• B、[1，2]
• C、[-2，-1]
• D、[-2，0]

Answer 1

分析：根据已知条件建立直角坐标系，以点A为原点，AC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，写出点A，B，C，M的坐标，设出点P的坐标，根据点P在三角形ABC内部或其边界上运动，则写出x，y应满足的条件，求出

BP

，

AM

，根据向量的数量积的坐标运算求出

BP

•

AM

，利用线性规划求得它的取值范围．

解答：解：以点A为原点，AC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（0，2），C（2，0），设点P（x，y），
∵，M是BC的中点，P点在三角形ABC内部或其边界上运动，
∴M（1，1），

x≥0 y≥0 x+y-1≤0

，

BP

=（x，y-2），

AM

=（1，1），
∴

BP

•

AM

=x+y-2，
由图形可知当在点A处取最小值-2，在线段BC上的任意一点取最大值0，
∴

BP

•

AM

的取值范围为[-2，0]．
故选D．

点评：此题是个中档题．考查向量在几何中的应用，侧重于对向量坐标运算和数量积、图解法求线性规划问题等基础知识的考查，体现了转化的思想，和熟练应用知识分析、解决问题的能力．