Question

若在平面直角坐标系中，已知动点M和两个定点，,且

求动点M轨迹的方程；

设为坐标原点，若点在轨迹上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意知：

所以，由椭圆的定义可知：动点运动的轨迹是: 以，为焦点，长轴长为4，焦距为的椭圆，且短半轴长为

所以轨迹的方程为-----4分

（2）直线与圆相切．

证明如下：设点，，显然其中,

因为，，所以，即，所以

①
  直线的斜率不存在时，即时，，代入椭圆方程可得：

，解得：，

此时直线的方程为或，显然与圆相切.

②当直线的斜率存在，即时，直线的方程为：

，即……(9分)

此时，圆心到直线的距离

又因为，

所以

==

=，所以，直线与圆相切．

综上，直线与圆相切．……(14分)