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    如图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且()。

    (Ⅰ) 求证:；

    (Ⅱ) 试确定的值,使得二面角的平面角余弦值为。

     



    解： (Ⅰ)取中点,连结,依题意可知△,△均为正三角形,

        所以,,又,,平面,

    所以平面,又平面,所以,

    因为,所以。…………5分

      (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,又平面平面,

    平面平面,

    平面,所以平面.…………6分

    以为原点,建立空间直角坐标系如图所示, …………7分

        则,,,,

     

    由可得点的坐标为,

    所以,,

    设平面的法向量为,则,即

    解得,令,得,…………8分

    显然平面的一个法向量为,…………9分

    依题意,………… 10分

    解得或(舍去), ………… 11分

    所以,当时,二面角的余弦值为.………… 12分


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