Question

【题目】某台函数计算器上有一个显示屏和两个操作键．若按一下第一个操作键，则将原显示屏上的数变为（表示不超过实数x的最大整数）；若按一下第二个操作键，则将原显示屏上的数变为．称按一下任意一个操作键为一次操作．现在显示屏上的数为1．问：

（1）是否可以经过有限次操作，显示屏上出现整数2000？说明理由．

（2）小于2000的整数中有多少个数可以经过有限次操作在显示屏上出现？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）233

【解析】

（1）不可能．

将数化成二进制．则按第一个操作键表示将显示屏上的数的最后一位去掉；按第二个操作键表示将显示屏上的数后面加上01．

当初始数为1时，经过以上两种操作后得到的数没有两个1相邻，而2000化成二进制为，其中有两个1相邻，从而，显示屏上不可能出现整数2000．

（2）若先进行第二种操作，后进行第一种操作，则相当于在原数后加一个0．故任意一个二进制中没有两个1相邻的数均可以经过有限次操作可得．

于是，在显示屏上可以出现小于2000的整数的个数等价于不大于，且没有两个1相邻的自然数的个数．

又含有个1且不大于的自然数有个，从而，满足条件的自然数个数为．