【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)若和
在
有相同的单调区间,求
的取值范围;
(Ⅱ)令(
),若
在定义域内有两个不同的极值点.
(i)求的取值范围;
(ii)设两个极值点分别为,
,证明:
.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(i)
(ii)详见解析
【解析】【试题分析】(1)借助题设条件,运用导数与函数的单调性之间的关系分析求解;(2)先依据题设条件将问题进行等价转化,再运用导数知识分析求解:
(Ⅰ).函数
的定义域为
,
,
当时,
;当
时,
.
所以在
上单调递减,在
上单调递增.
若在
上单调递减,在
上单调递增,
则.
(Ⅱ)(i)依题意,函数的定义域为
,
,
所以方程在
有两个不同根.
即方程在
有两个不同根,
转化为,函数与函数
的图象在
有两个不同交点,如图.
可见,若令过原点且切于函数图象的直线斜率为
,
只需.
令切点,所以
,又
,所以
,
解得,于是
,所以
.
(ii)由(i)可知,
分别是方程
的两个根,
即,
,不妨设
,作差得
,即
,
原不等式等价于
,即
,即
,
令,则
,
,即
,
设,
,
,
∴函数在
上单调递增,∴
,即不等式
成立,
故所证不等式成立.
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【题目】(本小题满分12分)在如图所示的五面体中,面为直角梯形,
,平面
平面
,
,
是边长为2的正三角形.
(1)证明: 平面
;
(2)求二面角的余弦值.
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【题目】(数学(文)卷·2017届湖北省沙市中学高三上学期第七次双周练第16题)埃及数学中有一个独特现象:除用一个单独的符号表示以外,其它分数都要写成若干个单分数和的形式.例如
可以这样理解:假定有两个面包,要平均分给5个人,如果每人
,不够,每人
,余
,再将这
分成5份,每人得
,这样每人分得
.形如
的分数的分解:
,
,
,按此规律,
=____________;
= ____________
.
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【题目】已知椭圆的左右焦点与其短轴得一个端点是正三角形的三个顶点,点
在椭圆
上,直线
与椭圆交于
两点,与
轴,
轴分别相交于点
合点
,且
,点
时点
关于
轴的对称点,
的延长线交椭圆于点
,过点
分别做
轴的垂线,垂足分别为
.
(1) 求椭圆的方程;
(2)是否存在直线,使得点
平分线段
?若存在,请求出直线
的方程;若不存在,请说明理由。
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【题目】已知椭圆(
),以椭圆内一点
为中点作弦
,设线段
的中垂线与椭圆相交于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)试判断是否存在这样的,使得
,
,
,
在同一个圆上,并说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
是平行四边形,
,侧面
底面
,
,
,
分别为
的中点,点
在线段
上.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)如果直线与平面
所成的角和直线
与平面
所成的角相等,求
的值.
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【题目】某城市理论预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如下表所示
年份2010+x(年) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
人口数y(十万) | 5 | 7 | 8 | 11 | 19 |
(1)请根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程;
(2) 据此估计2015年该城市人口总数。
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