Question

【题目】已知椭圆（），以椭圆内一点为中点作弦，设线段的中垂线与椭圆相交于， 两点．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得， ， ， 在同一个圆上，并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在这样的，使得， ， ， 在同一个圆上．

【解析】【试题分析】（1）借助递椭圆离心率的定义分析求解；（2）依据题设条件先建立直线的方程，再与椭圆方程联立，借助交点坐标之间的关系分析求解：

（Ⅰ）将椭圆方程化成标准方程， ．

（Ⅱ）由题意，设， ， ， ，直线的斜率存在，设为，联立，

得 ．　

， ，此时由，得，

则： ， ： ．

则得， ，故的中点为．

由弦长公式可得到 ．

，若存在圆，则圆心在上，

的中点到直线的距离为．　

，

又

存在这样的，使得， ， ， 在同一个圆上．