Question

已知函数若存在函数使得恒成立，则称是的一个“下界函数”.

（I） 如果函数为实数为的一个“下界函数”，求的取值范围；

（Ⅱ）设函数 试问函数是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（I） （Ⅱ）函数不存在零点.

【解析】

试题分析：（I）解法一：由 得          1分

记则                   2分

当时， 所以在上是减函数，

当时， 所以在上是增函数，     3分

因此 即                 5分

解法二：由 得 

设则                1分

（1）若由知

在上是增函数，在上是减函数，          2分

因为恒成立，所以解得      3分

（2）若当且时，

此与恒成立矛盾，故舍去；               4分

综上得                            5分

（Ⅱ）解法一：函数

由（I）知即                6分

                 7分

设函数

（1）当时，

在上是减函数，在上是增函数，

故

因为 所以 即            8分

（2）当时，         9分

综上知 所以函数不存在零点.              10分

解法二：前同解法一，      7分

记 则

所以在上是减函数，在上是增函数，

因此                    9分

故 所以函数不存在零点.              10分

解法三：前同解法一， 因为故         7分

设函数

因此即                    9分

故 所以函数不存在零点.                10分

解法四：前同解法一，因为故          7分

从原点作曲线的切线设切点为，

那么把点代入得所以

所以（当且仅当时取等号），即         9分

故 所以函数不存在零点.               10分

考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值及函数零点问题。

点评：中档题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。涉及比较大小问题，通过构造函数，转化成了研究函数的单调性及最值。涉及函数的零点问题，研究了函数的单调性及在区间端点的函数值的符号。