【题目】已知抛物线的焦点到准线的距离为
,直线
与抛物线
交于
两点,过这两点分别作抛物线
的切线,且这两条切线相交于点
.
(1)若的坐标为
,求
的值;
(2)设线段的中点为
,点
的坐标为
,过
的直线
与线段
为直径的圆相切,切点为
,且直线
与抛物线
交于
两点,证明:
.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:
(1)由题意可得抛物线的方程为
,设切线
的方程为
,将其代入抛物线方程可得
,根据判别式为零可得
,验证可得
。(2)由条件得以线段
为直径的圆为圆
,只考虑斜率为正数的直线
,因为
为直线
与圆
的切点,所以
,
,故
。又直线
的方程为
,将其代入抛物线方程由代数法可得弦长
,从而可得结论成立。
试题解析:
(1)由抛物线的焦点到准线的距离为
,得
,
所以抛物线的方程为
.
设切线的方程为
,
由消去
整理得
,
由得
,
当时,可得
的横坐标为
,则
,
当时,同理可得
.
综上可得。
(2)由(1)知, ,
所以以线段为直径的圆为圆
,
根据对称性,只要探讨斜率为正数的直线即可,
因为为直线
与圆
的切点,
所以,
,
所以,
所以,
所以直线的方程为
,
由消去
整理得
,
因为直线与抛物线交于两点,
所以,
设,
则
所以,
所以。
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知,在直角坐标系
中,直线
的参数方程为
(
为参数);在以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程是
.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)设点的极坐标为
,
为直线
,
的交点,求
的最大值.
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【题目】已知数列的前
项和为
,满足
与
的等差中项为
(
).
(1)求数列的通项公式;
(2)是否存在正整数,是不等式
(
)恒成立,若存在,求出
的最大值;若不存在,请说明理由.
(3)设
,若集合
恰有
个元素,求实数
的取值范围.
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【题目】如图 1,在直角梯形中,
,且
.现以
为一边向形外作正方形
,然后沿边
将正方形
翻折,使
平面与平面
垂直,
为
的中点,如图 2.
(1)求证: 平面
;
(2)求证: 平面
;
(3)求点到平面
的距离.
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【题目】如图,四边形是正四棱柱
的一个截面,此截面与棱
交于点
,
,其中
分别为棱
上一点.
(1)证明:平面平面
;
(2)为线段
上一点,若四面体
与四棱锥
的体积相等,求
的长.
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【题目】已知圆C:x2+y2+2x﹣4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;
(2)从圆C外一点P(x1 , y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.
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【题目】某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,C(x)=(万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+
(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(Ⅰ)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
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