Question

6．若存在x₀∈（0，1），使得（2-x₀）e${\;}^{a{x}_{0}}$≥2+x₀，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （ln3，+∞）
• B． （1，+∞）
• C． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 由存在x₀∈（0，1），使ax≥ln（2+x）-ln（2-x）能成立，0＜x＜1．令f（x）=ln（2+x）-ln（2-x），则 ax≥f（x）能成立，故a大于或等于f′（x），再根据f′（x）的单调递增，且f′（0）=1，从而求得a的范围．

解答 解：∵存在x₀∈（0，1），使得（2-x₀）e${\;}^{a{x}_{0}}$≥2+x₀，
∴${e}^{{ax}_{0}}$≥$\frac{2{+x}_{0}}{2{-x}_{0}}$＞1，∴ax₀≥ln（2+x₀）-ln（2-x₀），
即 ax≥ln（2+x）-ln（2-x）能成立，0＜x＜1．
令f（x）=ln（2+x）-ln（2-x），则 ax≥f（x）能成立（0＜x＜1），
故直线y=ax不能恒在函数y=f（x）的下方，
故直线y=ax的斜率a大于或等于f′（x）．
则f′（x）=$\frac{1}{2+x}$+$\frac{1}{2-x}$=$\frac{4}{4{-x}^{2}}$＞1，f（x）在（0，1）上单调递增．
∵x∈（0，1），∴f′（x）是增函数，又f′（0）=1，∴f′（x）＞0，故 a＞1，
故选：B．

点评 本题主要考查指数函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．