【题目】如图,AB是圆O的直径,PB是圆O的切线,过A点作AE∥OP交圆O于E点,PA交圆O于点F,连接PE.
(1)求证:PE是圆O的切线;
(2)设AO=3,PB=4,求PF的长.
【答案】
(1)证明:连接OE,
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA,
∵AE∥OP,
∴∠OAE=∠BOP,∠OEA=∠EOP,
∴∠BOP=∠EOP,又OB=OE,OP=OP,
∴△BOP≌△EOP,
∴∠OEP=∠OBP,
∵PB是圆O的切线,∴∠OBP=90°,
∴∠OEP=90°,
∴PE是圆O的切线.
(2)解:由(1)知△ABP 是直角三角形,
∵AB=2AO=6,PB=4,
∴PA= =2
,
∵PB是圆O的切线,
∴PB2=PFPA,
∴PF= =
.
【解析】(1)连接OE,证明△BOP≌△EOP,可得∠OEP=∠OBP,根据PB是圆O的切线,证明PE是圆O的切线;(2)利用切割线定理求PF的长.
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【题目】已知点,点
是直线
上的动点,过
作直线
,
,线段
的垂直平分线与
交于点
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)若点是直线
上两个不同的点,且
的内切圆方程为
,直线
的斜率为
,求
的取值范围.
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【题目】已知数列{an}{n=1,2,3…,2015},圆C1:x2+y2﹣4x﹣4y=0,圆C2:x2+y2﹣2anx﹣2a2006﹣ny=0,若圆C2平分圆C1的周长,则{an}的所有项的和为( )
A. 2014 B. 2015 C. 4028 D. 4030
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【题目】已知函数 ,若存在x1 , x2 , 当0≤x1<x2<2时,f(x1)=f(x2),则x1f(x2)﹣f(x2)的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】定义:在平面内,点到曲线
上的点的距离的最小值称为点
到曲线
的距离,在平面直角坐标系
中,已知圆
:
及点
,动点
到圆
的距离与到
点的距离相等,记
点的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)过原点的直线(
不与坐标轴重合)与曲线
交于不同的两点
,点
在曲线
上,且
,直线
与
轴交于点
,设直线
的斜率分别为
,求
.
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【题目】若函数f(x)满足:f(﹣x)+f(x)=ex+e﹣x , 则称f(x)为“e函数”.
(1)试判断f(x)=ex+x3是否为“e函数”,并说明理由;
(2)若f(x)为“e函数”且 ,
(ⅰ)求证:f(x)的零点在 上;
(ⅱ)求证:对任意a>0,存在λ>0,使f(x)<0在(0,λa)上恒成立.
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【题目】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|< )的图象如图所示,为了得到g(x)=sin(2x+
)的图象,则只需将f(x)的图象( )
A.向右平移 个单位长度
B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度
D.向左平移 个单位长度
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