Question

4．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-sin（x+$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数F（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+3|f（x）+1|-m，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]有三个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式、二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的减区间求出f（x）的单调递减区间；
（2）由（1）化简F（x）的解析式，将F（x）有三个零点转化为对应的方程有三个不同的解，由x的范围求出2x+$\frac{π}{6}$的范围，设t=$2x+\frac{π}{6}$，令g（t）=sint+3|sint|，再转化为函数g（t）的图象与直线y=m有三个交点，化简g（t）的解析式后由正弦函数的图象画出图象，由条件和图象求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos（x-$\frac{π}{4}$）sin（x-$\frac{π}{4}$）-1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{2}$）-1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$sin2x-1=$sin（2x+\frac{π}{6}）-1$，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的单调递增区间是$[\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ]（k∈Z）$；
（2）由（1）得，f（x）=$sin（2x+\frac{π}{6}）-1$，
∴F（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+3|$sin（2x+\frac{π}{6}）$|-m，
因此，F（x）在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]上有三个零点，
等价于方程cos（2x-$\frac{π}{3}$）+3|$sin（2x+\frac{π}{6}）$|-m=0在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]上有三个不同的根，
由$x∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{3}]$得，$2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{5π}{6}，\frac{5π}{6}]$，
设t=$2x+\frac{π}{6}$，则$t∈[-\frac{5π}{6}，\frac{5π}{6}]$，
令g（t）=sint+3|sint|，且$t∈[-\frac{5π}{6}，\frac{5π}{6}]$，
∴方程cos（2x-$\frac{π}{3}$）+3|$sin（2x+\frac{π}{6}）$|-m=0在x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]上有三个不同的根，
等价于函数g（t）的图象与直线y=m由三个不同的交点，

又函数g（t）=sint+3|sint|=$\left\{\begin{array}{l}{-2sint，t∈[-\frac{5π}{6}，0）}\\{4sint，t∈[0，\frac{5π}{6}]}\end{array}\right.$的图象如图所示：
由图得，实数m的取值范围是[1，2]．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，三角恒等变换中的公式，以及函数零点、方程的根与函数图象交点之间的关系，考查转化思想，数形结合思想，化简、变形能力．