【题目】如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的,其中
(1)求的长;
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1);(2)
【解析】
以为坐标原点,分别以为轴,建立空间直角坐标系,
(1)由为平行四边形,运用向量的模的计算方法,可得的长度;
(2)运用向量坐标运算计算点到平面的距离.
(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).
设F(0,0,z).
∵AEC1F为平行四边形, ∴由AEC1F为平行四边形,
∴由=得,(-2,0,z)=(-2,0,2),
∴z=2.∴F(0,0,2).∴=(-2,-4,2,于是||=2,即BF的长为2;
(2)设为平面AEC1F的法向量,显然不垂直于平面ADF,故可设=(x,y,1).
,即,∴
又=(0,0,3),设与的夹角为a, 则cosα==,
∴C到平面AEC1F的距离为d=||cosα=3×=.
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【题目】已知函数f(x)=-2+lnx.
(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调递增函数,求实数a的取值范围.
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【题目】下列命题中正确的是( )
A.若ξ服从正态分布N(0,2),且P(ξ>2)=0.4,则P(0<ξ<2)=0.2
B.x=1是x2﹣x=0的必要不充分条件
C.直线ax+y+2=0与ax﹣y+4=0垂直的充要条件为a=±1
D.“若xy=0,则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0,则xy≠0”
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【题目】某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛,为了解成绩情况,现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计(所有学生成绩均不低于60分).请你根据尚未完成的频率分布表,解答下列问题:
(1)写出M 、N 、p、q(直接写出结果即可),并作出频率分布直方图;
(2)若成绩在90分以上学生获得一等奖,试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数;
(3)现从所有一等奖的学生中随机选择2名学生接受采访,已知一等奖获得者中只有2名女生,求恰有1名女生接受采访的概率.
分组 | 频数 | 频率 | |
第1组 | [60,70) | M | 0.26 |
第2组 | [70,80) | 15 | p |
第3组 | [80,90) | 20 | 0.40 |
第4组 | [90,100] | N | q |
合计 | 50 | 1 |
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【题目】已知{an}是递增的等差数列,且满足a2a4=21,a1+a5=10.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{cn}前n项和Cn=an+1,数列{bn}满足bn=2ncn(n∈N*),求{bn}的前n项和.
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【题目】(本小题满分12分) 命题实数x满足(其中),命题实数满足
(Ⅰ)若,且为真,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若是 的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90,AD=2BC,PA⊥平面ABCD.
(1)设E为线段PA的中点,求证:BE∥平面PCD;
(2)若PA=AD=DC,求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
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【题目】 由经验得知,在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表
排队人数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5人以上 |
概率 | 0.1 | 0.16 | 0.3 | 0.3 | 0.1 | 0.04 |
(1)至多有2人排队的概率是多少?
(2)至少有2人排队的概率是多少?
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