Question

【题目】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90，AD=2BC，PA⊥平面ABCD．

(1)设E为线段PA的中点，求证：BE∥平面PCD；

(2)若PA=AD=DC，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）设线段AD的中点为F，根据三角形中位线性质以及平行四边形性质得线线平行，再根据线面平行判定定理得线面平行，最后根据面面平行判定定理得面面平行，即得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得各面法向量，根据向量数量积求得法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.

(1)设线段AD的中点为F，连接EF，BF．

在△PAD中，因为EF为△PAD的中位线，所以EF∥PD．

又EF平面PCD，PD平面PCD，所以EF∥平面PCD．

在底面直角梯形ABCD中，FD∥BC，且FD=BC，

故四边形DFBC为平行四边形，FB∥CD．

又FB平面PCD，CD平面PCD，所以FB∥平面PCD．

又EF平面EFB，FB平面EFB，且EF∩FB=F，所以平面EFB∥平面PCD．

又BE平面EFB，所以BE∥平面PCD．

(2)以A为坐标原点， 的方向为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

设PA=2，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0)，C(2,2,0)，B(2,1,0)，

=(0,0,2)，=(2,1,0)，=(0,2, 2)， =(2,0,0)．

设n=(x,y,z)是平面PAB的法向量，则

，即 ，

令x=1，得y=2，z=0，则n=(1, 2,0)是平面PAB的一个法向量，

同理，m=(0, 1, 1)是平面PCD的一个法向量．

所以cos<m,n>= ，

所以平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为．