【题目】设函数f(x)=1-x2+ln(x+1).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若不等式f(x)>-x2(k∈N*)在(0,+∞)上恒成立,求k的最大值.
【答案】(1)见解析(2)3
【解析】
(1)首先求出f(x)的定义域,函数f(x)的导数,分别令它大于0,小于0,解不等式,必须注意定义域,求交集;
(2)化简不等式f(x)>﹣x2,得:(x+1)[1+ln(x+1)]>kx,令g(x)=(x+1))[1+ln(x+1)]﹣kx,求出g'(x),由x>0,求出2+ln(x+1)>2,讨论k,分k≤2,k>2,由恒成立结合单调性判断k的取值,从而得到k的最大值.
(1)函数f(x)的定义域为(﹣1,+∞),
函数f(x)的导数f'(x)=﹣2x+,
令f'(x)>0则>2x,
解得,
令f'(x)<0则,
解得x>或x<,
∵x>﹣1,
∴f(x)的单调增区间为(﹣1,),
单调减区间为(,+∞);
(2)不等式f(x)>﹣x2
即1﹣x2+ln(x+1)>,即1+ln(x+1)>,
即(x+1)[1+ln(x+1)]>kx(k∈N*)在(0,+∞)上恒成立,
令g(x)=(x+1))[1+ln(x+1)]﹣kx,则
g'(x)=2+ln(x+1)﹣k,
∵x>0,∴2+ln(x+1)>2,
若k≤2,则g'(x)>0,即g(x)在(0,+∞)上递增,
∴g(x)>g(0)即g(x)>1>0,
∴(x+1)[1+ln(x+1)]>kx(k∈N*)在(0,+∞)上恒成立;
若k>2,可以进一步分析,只需满足最小值比0大,即可,
结合K为正整数,故k的最大值为3.
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【题目】如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90,AD=2BC,PA⊥平面ABCD.
(1)设E为线段PA的中点,求证:BE∥平面PCD;
(2)若PA=AD=DC,求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.
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【题目】 由经验得知,在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表
排队人数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5人以上 |
概率 | 0.1 | 0.16 | 0.3 | 0.3 | 0.1 | 0.04 |
(1)至多有2人排队的概率是多少?
(2)至少有2人排队的概率是多少?
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【题目】已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且 为偶函数,对于函数y=f(x)有下列几种描述:①y=f(x)是周期函数②x=π是它的一条对称轴;③(﹣π,0)是它图象的一个对称中心;④当 时,它一定取最大值;其中描述正确的是 .
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【题目】如图在矩形ABCD中,已知AB=3AD,E,F为AB的两个三等分点,AC,DF交于点G.
(1)证明:EGDF;
(2)设点E关于直线AC的对称点为,问点是否在直线DF上,并说明理由.
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【题目】已知集合A=a1 , a2 , a3 , …,an , 其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示和ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的个数.
(Ⅰ)设集合P=2,4,6,8,Q=2,4,8,16,分别求l(P)和l(Q);
(Ⅱ)若集合A=2,4,8,…,2n , 求证: ;
(Ⅲ)l(A)是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由?
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【题目】在下列4个函数:① ;②y=sinx;③y=﹣tanx;④y=﹣cos2x、其中在区间 上增函数且以π为周期的函数是(把所有符合条件的函数序列号都填上)
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【题目】(本小题满分16分)对于函数,如果存在实数使得,那么称为的生成函数.
(1)下面给出两组函数,是否分别为的生成函数?并说明理由;
第一组:;
第二组:;
(2)设,生成函数.若不等式在上有解,求实数的取值范围.
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【题目】若函数y=ax+b的部分图象如图所示,则( )
A.0<a<1,﹣1<b<0
B.0<a<1,0<b<1
C.a>1,﹣1<b<0
D.a>1,0<b<1
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