Question

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）过点A（-e^-2，0）作函数y=f（x）图象的切线，求切线方程．

Answer 1

分析：（1）在定义域内解不等式f′（x）＜0即可；
（2）分离参数a后转化为求函数的最值问题解决；
（3）设切点为T（x₀，y₀），由K_AT=f′（x₀），得一方程，构造函数转化为函数零点处理．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，由f′（x）＜0得lnx＜-1，∴0＜x＜

1

e

，
∴函数f（x）的单调递减区间是（0，

1

e

）；
（Ⅱ）f（x）≥-x²+ax-6，即a≤lnx+x+

6

x

，
设g（x）=lnx+x+

6

x

，则g′（x）=

x2+x-6

x2

=

(x+3)(x-2)

x2

，
当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；
当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
∴g（x）最小值g（2）=5+ln2，
∴实数a的取值范围是（-∞，5+ln2]； 
（Ⅲ）设切点T（x₀，y₀），则K_AT=f′（x₀），∴

x0lnx0

x0+ 1 e2

=lnx0+1，即e²x₀+lnx₀+1=0．
设h（x）=e²x+lnx+1，当x＞0时，h′（x）＞0，∴h（x）是单调递增函数，
∴h（x）=0最多只有一个根，又h（

1

e2

）=e2×

1

e2

+ln

1

e2

+1=0，∴x0=

1

e2

．
由f′（x₀）=-1，得切线方程是x+y+

1

e2

=0．

点评：本题考查了导数的几何意义及综合运用导数研究函数的单调性、最值问题．对于不等式恒成立问题往往转化为最值问题解决，注意区分过某点的切线与某点处的切线的区别．