Question

已知数列的前三项分别为，，，（其中为正常数）。设。

（1）归纳出数列的通项公式，并证明数列不可能为等比数列；

（2）若=1，求的值；

（3）若=4，试证明：当时，．

 

Answer 1

（1），证明详见解析；（2）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据条件中给出的的表达式，可以归纳出数列的通项公式为，证明不可能为等比数列可以考虑采用反证法来证明，假设为等比数列，可以得到与事实不符的等式，从而得证；（2）若时， ∴，

∴，利用错位相减法进行数列求和，即可得到f(2)的表达式；（3）当=4，欲证当时，，即证，尝试采用分析法，从要证明的不等式出发，执果索因，即可得证

（1）数列的通项公式为 2分

下面证明数列不可能为等比数列：

假设数列为等比数列，则，即（），

即，两边平方整理得：4=0，矛盾，

故数列不可能为等比数列 5分

（2）若，，∴ ，∴，

∴ ①

②

①-②得

∴ 9分

（3）若=4，

法一：当时，欲证 ，

只需证

只需证

只需证

只需证

只需证

显然 不等式成立，

因此 当时，． 14分

法二：

， ，

故．

考点： 1、数学归纳法；2、反证法；3、错位相减法进行数列求和；4、分析法证明不等式.