Question

12．已知实数a＞0，b＞0，且a²+3b²=3，若$\sqrt{5}$a+b≤m恒成立．
（1）求m的最小值；
（2）若2|x-1|+|x|≥$\sqrt{5}$a+b对a＞0，b＞0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）使用柯西不等式求出$\sqrt{5}$a+b的最大值极为m的最小值；
（2）根据（1）的结果可知2|x-1|+|x|≥4，去绝对值符号解不等式即可．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，
（a²+3b²）（5+$\frac{1}{3}$）≥（$\sqrt{5}$a+b）²，
∴$\sqrt{5}$a+b≤$\sqrt{（{a}^{2}+3{b}^{2}）（5+\frac{1}{3}）}$=$\sqrt{3×\frac{16}{3}}$=4．
∴m的最小值为4．
（2）∵2|x-1|+|x|≥$\sqrt{5}$a+b对a＞0，b＞0恒成立，$\sqrt{5}a$+b的最大值为4，
∴2|x-1|+|x|≥4．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2（x-1）+x≥4}\\{x≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2-2x+x≥4}\\{0≤x＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2-2x-x≥4}\\{x＜0}\end{array}\right.$，
解得x≤-$\frac{2}{3}$或x≥2．

点评 本题考查了柯西不等式的应用，绝对值不等式的解法，属于中档题．