Question

1．定义在R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d同时满足以下条件：
①f（x） 在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
②f′（x）是偶函数；
③f（x）的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直．
（1）求函数f（x） 的解析式；
（2）设g（x）=4lnx-m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=3ax²+2bx+c，由f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，得到f′（1）=3a+2b+c=0，再由函数的奇偶性和切线方程能够求出函数y=f（x）的解析式．
（2）若存在x∈[1，e]，使4lnx-m＜x²-1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx-x²+1，由此入手，结合题设条件，能够求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c．
∵f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∴f′（1）=3a+2b+c=0，（*）
由f′（x）是偶函数得b=0，（ⅰ）
又f（x）的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，
∴f′（0）=c=-1，（ⅱ）
将（ⅰ）（ⅱ）代入（*）得a=$\frac{1}{3}$，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x+3．
（2）由已知得，若存在x∈[1，e]，使4ln x-m＜x²-1，即存在x∈[1，e]，使m＞（4ln x-x²+1）_min．
设M（x）=4ln x-x²+1，x∈[1，e]，
则M′（x）=x4-2x=x4-2x2，
令M′（x）=0，又因为x∈[1，e]，所以x=$\sqrt{2}$．
当$\sqrt{2}$＜x≤e时，M′（x）＜0，则M（x）在（$\sqrt{2}$，e]上为减函数；
当1≤x≤$\sqrt{2}$时，M′（x）＞0，则M（x）在[1，$\sqrt{2}$]上为增函数，
所以M（x）在[1，e]上有最大值．
又M（1）=0，M（e）=5-e²＜0，
所以M（x）的最小值为5-e²．
所以m＞5-e²．
故实数m的取值范围是（5-e²，+∞）．

点评 本题考查函数解析式的求法和求实数的取值范围，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．