Question

17．（1）如图，在△ABC中，AD⊥AB，$\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}\overrightarrow{BD}，|\overrightarrow{AD}|=1$，求$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$的值
 （2）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，求|$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$|的最小值（本小题用两种方法解答）．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量数量积的定义，利用三角恒等变换与正弦定理，即可求出$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$的值．
（2）解法一：根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，写出点A、B、C和D的坐标，设出点P，根据向量模的计算公式，利用完全平方式非负，即可求得其最小值；
解法二：设$\overrightarrow{DP}$=x$\overrightarrow{DC}$，得$\overrightarrow{PC}$=（1-x）$\overrightarrow{DC}$，表示出$\overrightarrow{PA}$、$\overrightarrow{PB}$，计算（$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$）²的最小值即可求出|$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$|的最小值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AC}$|×|$\overrightarrow{AD}$|×cos∠∠CAD，
∵|$\overrightarrow{AD}$|=1，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AC}$|×cos∠CAD，
∵∠BAC=$\frac{π}{2}$+∠DAC，
∴cos∠CAD=sin∠BAC，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AC}$|sin∠BAC，
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sin∠BAC}$，
变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AD}$=|$\overrightarrow{AC}$|sin∠BAC=|BC|sinB=|BC|•$\frac{AD}{BD}$=$\sqrt{3}$BD•$\frac{AD}{BD}$=$\sqrt{3}$；
 （2）解法一：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）
设P（0，b）（0≤b≤a）
则$\overrightarrow{PA}$=（2，-b），$\overrightarrow{PB}$=（1，a-b），
∴$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$=（5，3a-4b），
∴|$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{{5}^{2}{+（3a-4b）}^{2}}$≥5，
即当3a=4b时，取得最小值5；
解法二：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，
$\overrightarrow{CB}$⊥$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{DA}$⊥$\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{DA}$∥$\overrightarrow{CB}$，
设$\overrightarrow{DP}$=x$\overrightarrow{DC}$，则$\overrightarrow{PC}$=（1-x）$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{DA}$-$\overrightarrow{DP}$=$\overrightarrow{DA}$-x$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{CB}$=（1-x）$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CB}$，
∴（$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$）²=[$\overrightarrow{DA}$+3$\overrightarrow{CB}$+（3-4x）$\overrightarrow{DC}$]²
=${\overrightarrow{DA}}^{2}$+9${\overrightarrow{CB}}^{2}$+（3-4x）²${\overrightarrow{DC}}^{2}$+6$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{CB}$+2（3-4x）$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DC}$+6（3-4x）$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{DC}$，
∵$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{CB}$=2，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{DC}$=0，
∴（$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$）²=25+（3-4x）²${\overrightarrow{DC}}^{2}$，
当3-4x=0时，（$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$）²_min=25，
∴|$\overrightarrow{PA}$+3$\overrightarrow{PB}$|_min=5．

点评 本题考查了平面向量的数量积的定义与性质的应用问题，也考查了诱导公式和正弦定理的运用问题，也考查了一题多解的问题，是综合性题目．