Question

7．定积分${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sin²$\frac{x}{2}$dx+${∫}_{-1}^{1}$e^|x|sinxdx的值等于（　　）

• A． $\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{π}{4}$+$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$-$\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{2}$-1

Answer 1

分析 根据二倍角公式和定积分的法则计算即可．

解答 解：${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sin²$\frac{x}{2}$dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cosx）dx=（$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$sinx）|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$，
设f（x）=e^|x|sinx，
则f（-x）=e^|-x|sin（-x）=-e^|x|sinx=-f（x），
∴f（x）为奇函数，
∴${∫}_{-1}^{1}$e^|x|sinxdx=0，
故定积分${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sin²$\frac{x}{2}$dx+${∫}_{-1}^{1}$e^|x|sinxdx=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$，
故选A．

点评 本题考查了定积分的计算法则和奇函数的性质，属于基础题．