Question

2．关于函数$f（x）=lg\frac{{{x^2}+1}}{|x|}（x≠0）$，有下列命题：
①其图象关于y轴对称；
②当x＞0时，f（x）为增函数；
③f（x）的最小值是lg2；
④当-1＜x＜0或x＞1时，f（x）是增函数；
⑤f（x）无最大值，也无最小值．
其中正确结论的序号是（　　）

• A． ①②
• B． ①③④
• C． ③④
• D． ①②⑤

Answer 1

分析 ①可判函数为偶函数，可知正确；
②由函数y=x+$\frac{1}{x}$的单调性，可知不正确；
③结合前面的性质可知函数最小值为lg2；
④当-1＜x＜0或x＞1时函数t=x+$\frac{1}{x}$是增函数，根据复合函数知，f（x）是增函数；
⑤由③知，不正确．

解答 解：①定义域为R，又满足f（-x）=f（x），所以函数y=f（x）的图象关于y轴对称，正确．
②令t=x+$\frac{1}{x}$（x＞0），在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，不正确．
③t=x+$\frac{1}{x}$≥2，又是偶函数，所以函数f（x）的最小值是lg2，正确．
④当-1＜x＜0或x＞1时函数t=x+$\frac{1}{x}$是增函数，根据复合函数知，f（x）是增函数，正确．
⑤由③知，不正确．
故正确结论的序号是：①③④．
故选：B．

点评 本题考查命题真假的判断，考查函数的性质，属于中档题．