Question

4．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右焦点为F．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C相切于点P（不为椭圆C的左、右顶点），直线l与直线x=2交于点A，直线l与直线x=-2交于点B，请问∠AFB是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明．

Answer 1

分析 （1）由2a=4，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$即可求得a和b，即可求得椭圆C的方程；
（2）l的斜率为0时，∠AFB为直角，则∠AFB为定值$\frac{π}{2}$，当斜率不为0时，将切点代入椭圆方程，求得交点坐标，求得AF和BF的斜率k_AF及k_BF，即可求得k_AF•k_BF=-1，即可求得∠AFB为定值$\frac{π}{2}$．

解答 解：（1）2a=4，即a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴c=$\sqrt{3}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
（2）证明：当l的斜率为0时，∠AFB为直角，则∠AFB为定值，为$\frac{π}{2}$，
当斜率不为0时，设切点为P（x₀，y₀），则l：$\frac{x{x}_{0}}{4}+y{y}_{0}=1$，
∴A（2，$\frac{1-\frac{{x}_{0}}{2}}{{y}_{0}}$），B（-2，$\frac{1+\frac{{x}_{0}}{2}}{{y}_{0}}$），
∴k_AF•k_BF=$\frac{1-\frac{{x}_{0}}{2}}{{（2-\sqrt{3}）y}_{0}}$•$\frac{1+\frac{{x}_{0}}{2}}{（-2-\sqrt{3}）{y}_{0}}$=$\frac{1-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}}{-{y}_{0}^{2}}$=-1，
∴∠AFB为定值$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．