Question

17．已知三个不等式①|2x-4|＜5-x；②$\frac{x+2}{{x}^{2}-3x+2}$≥1；③2x²+mx-1＜0．
（1）若同时满足①、②的x的值以满足③，求实数m的取值范围；
（2）若不等式③的解集非空也满足③的x至少满足①和②中的一个，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，同时满足①、②的x的值以满足③，实际是求①②的交集是③的子集．
（2）由题意，③的x至少满足①和②中的一个，说明③可以满足②①的并集．

解答 解：（1）对于①有：x-5＜2x-4＜5-x⇒-1＜x＜3；
 对于②有：$\frac{x+2}{{x}^{2}-3x+2}$≥1⇒$\frac{x+2}{{x}^{2}-3x+2}$-1≥0⇒0≤x＜1或2＜x≤4
那么①②的交集x的范围为：0≤x＜1或2＜x＜3
由题意，同时满足①、②的x的值以满足③，
∴①②的交集是③的子集．
对于③：令f（x）=2x²+mx-1＜0
根据一元二次方程根的分布可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≤0}\\{f（3）≤0}\end{array}\right.$
解得：$m≤-\frac{17}{3}$
（2）由题意：③2x²+mx-1＜0．
③的解集是非空集合，
∴△＞0，
至少满足①和②中的一个，
∴③的解集是[-1，4]，
令f（x）=2x²+mx-1，
根据一元二次方程根的分布：
则有：$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≥0}\\{△＞0}\\{f（4）≥0}\\{-1＜-\frac{b}{2a}＜4}\end{array}\right.$
解得：$-\frac{31}{4}≤m≤1$
所以实数m的取值范围是[$-\frac{31}{4}$，1]．

点评 本题考查了不等式的解法，题中隐含交集的运算和子集的关系．读懂题意，理解题意是解题的关系．属于中档题．