Question

【题目】若函数的图像与的图像交于不同的两点，线段的中点为

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析；

【解析】

（1）设，转化为有两个零点时的取值范围，求，求出单调区间，确定极值，结合零点存在性定理，即可求解；

（2）将所证的不等式用表示，，再令，转化为证明 ，再等价转化构造函数，，利用求导研究函数的单调性，即可证明不等式.

（1）设，

题意即有两个不同的零点，，

当时，，在上单调递增，

至多一个零点，不满足题意.

当时，令，得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以时，取得极小值，

也是最小值为

若即，则至多一个零点，不满足题意.

若即，则由，

知在存在一个零点，

又.

设在上恒成立，

，所以.

所以在存在一个零点，

从而有个两个不同零点，满足题意.

综上，实数的取值范围是.

（2）要证只要证

只需证

不妨设，即证

要证，只需证，

设，则

所以在上为增函数，

从而，即成立.

要证，只需证

设.则

所以在上为减函数，从而，

即中上成立，

所以成立，即.