Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求证：；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）构造函数，对函数求导，从而得到函数的最大值，则不等式获证；（2）先对函数求导，再对参数分类讨论，分别求得函数在上的最大值，将不等式恒成立问题转化为的最大值小于或等于0，即可得到实数的取值范围.

解：（1）易知函数的定义域为.

设，

则，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得最大值，

所以，

所以.

（2）因为，所以.

①当时，在上单调递减，

所以当时，，所以满足题意.

②当时，令，则，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得最大值.

当，即时，在上单调递增，

所以当时，，不符合题意.

当，即时，在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，.

设，则.

当时，，所以在上单调递增，

所以当时，，不满足题意.

当，即时，在上单调递减，

所以当时，，所以满足题意.

综上所述，的取值范围为.