Question

【题目】已知过椭圆的四个顶点与坐标轴垂直的四条直线围成的矩形（是第一象限内的点）的面积为，且过椭圆的右焦点的倾斜角为的直线过点．

（1）求椭圆的标准方程

（2）若射线与椭圆的交点分别为．当它们的斜率之积为时，试问的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面积为定值．

【解析】

（1）根据矩形面积、直线斜率和椭圆关系可构造方程组求得，进而得到椭圆标准方程；

（2）当直线斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用弦长公式求得，点到直线公式求得点到直线距离，进而表示出；根据，代入韦达定理形式化简可得，代入中化简得到；当直线斜率不存在时，可求得两点坐标，进而求得；综合两种情况可知为定值.

（1）由题意得：，，，.

直线的斜率，，

由得：，椭圆的标准方程为.

（2）的面积为定值，理由如下：

设，，

①当直线斜率存在时，设方程为.

由得：，

则，即，

，，

，

又点到直线的距离，

.

，，

化简可得：，满足，

；

②当直线斜率不存在时，

且，可设，，

则点的坐标分别为，，

此时；

综上所述：的面积为定值.